X(z)=∑−∞∞x(n)z−nX(z)=\sum_{-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}

一、z变换的收敛域

1. 求收敛域

只有当z变换展开的无穷幂级数收敛时，z变换才有意义。能够使级数收敛的z值集合叫做收敛域（ROC）

级数收敛的条件为：

∑−∞∞∣x(n)z−n∣<∞\sum_{-\infty}^{\infty}|x(n)z^{-n}|<\infty

一般用比值判定法判定：

lim⁡n→∞∣x(n+1)z−(n+1)x(n)z−n∣<1\lim_{n\to\infty}\left| \frac{x(n+1)z^{-(n+1)}}{x(n)z^{-n}} \right|<1

当上述极限等于1时，不能判定是否收敛

2. 左右序列的收敛域

  1. 右边序列

x1(n)=∑n=0∞anx_1(n)=\sum_{n=0}^{\infty}a^n

通过比值判定法得到ROC为∣z∣>a|z|>a，在z平面上表示为半径为a的圆的外侧

  1. 左边序列

x1(n)=∑n=−∞0bnx_1(n)=\sum_{n=-\infty}^{0}b^n

通过比值判定法得到ROC为∣z∣<a|z|<a，在z平面上表示为半径为b的圆的内侧

  1. 左右序列

x3(n)=∑n=0∞an+∑n=−∞0bnx_3(n)=\sum_{n=0}^{\infty}a^n+\sum_{n=-\infty}^{0}b^n

则要同时满足左右两边的收敛域，如果a<ba<b则收敛域为一个圆环，否则无收敛域

二、常见信号的z变换

  1. 单位样值序列

Z[δ(n)]=1∣z∣≥0\mathscr{Z}[\delta(n)]=1 \qquad|z|\ge0

  1. 单位阶跃序列

Z[u(n)]=zz−1∣z∣>1\mathscr{Z}[u(n)]=\frac{z}{z-1} \qquad|z|>1

  1. 单边指数序列

Z[anu(n)]=zz−a∣z∣>a\mathscr{Z}[a^nu(n)]=\frac{z}{z-a} \qquad|z|>a

  1. 复指数序列

Z[ejnΩ]=zz−ejΩ∣z∣>1\mathscr{Z}[e^{jn\Omega}]=\frac{z}{z-e^{j\Omega}} \qquad|z|>1

  1. 余弦序列

Z[cos⁡(Ωn)u(n)]=z2−cos⁡Ωzz2−2zcos⁡Ω+1∣z∣>1\mathscr{Z}[\cos{(\Omega n)}u(n)]=\frac{z^2-\cos{\Omega z}}{z^2-2z\cos{\Omega}+1} \qquad|z|>1

  1. 正弦序列

Z[sin⁡(Ωn)u(n)]=sin⁡Ωzz2−2zcos⁡Ω+1∣z∣>1\mathscr{Z}[\sin{(\Omega n)}u(n)]=\frac{\sin\Omega z}{z^2-2z\cos{\Omega}+1} \qquad|z|>1

三、z变换的性质

1. 线性特性

对于：

x1(n)u(n)↔ZX1(z)∣z∣>Rx1x_1(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X_1(z)\quad|z|>R_{x1}

x2(n)u(n)↔ZX2(z)∣z∣>Rx2x_2(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X_2(z)\quad|z|>R_{x2}

有：

a1x1(n)+a2x2(n)↔Za1X1(z)+a2X2(z)∣z∣>max(Rx1,Rx2)a_1x_1(n)+a_2x_2(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}a_1X_1(z)+a_2X_2(z) \qquad|z|>max(R_{x1},R_{x_2})

2. 位移特性

位移特性均不改变收敛域，对于：

x(n)u(n)↔ZX(z)∣z∣>Rxx(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X(z)\quad|z|>R_{x}

有：

x(n−m)u(n−m)↔Zz−mX(z)x(n-m)u(n-m)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}z^{-m}X(z)

即向右偏移m个单位，但是原先在左边的点不移动

另外：

x(n+m)u(n)↔Zzm[X(z)−∑k=0m−1x(k)z−k]x(n+m)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}z^{m}[X(z)-\sum_{k=0}^{m-1}x(k)z^{-k}]

即所有点都向左移动m个单位，并且减去前m个点

还有：

x(n−m)u(n)↔Zz−m[X(z)+∑k=−m−1x(k)z−k]x(n-m)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}z^{-m}[X(z)+\sum_{k=-m}^{-1}x(k)z^{-k}]

所有点都向右移动m个单位，但是要加上原先在左边由于阶跃函数变成0的m个点

对于因果序列(零状态)，有：

x(n−m)u(n)↔Zz−mX(z)x(n-m)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}z^{-m}X(z)

3. 展缩特性

对于：

x(n)u(n)↔ZX(z)∣z∣>Rxx(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X(z)\quad|z|>R_{x}

有：

anx(n)u(n)↔ZX(za)∣za∣>Rxa^nx(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X(\frac{z}{a}) \qquad|\frac{z}{a}|>R_x

4. z域微分特性

对于：

x(n)u(n)↔ZX(z)∣z∣>Rxx(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X(z)\quad|z|>R_{x}

有：

nmx(n)u(n)↔Z(−zddz)mX(z)∣z∣>Rxn^mx(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}\left(-z\frac{d}{dz}\right)^mX(z) \qquad|z|>R_{x}

5. z域积分特性

对于：

x(n)u(n)↔ZX(z)∣z∣>Rxx(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X(z)\quad|z|>R_{x}

有：

x(n)n+m↔Zzm∫z∞X(x)x(m+1) dx∣z∣>Rx\frac{x(n)}{n+m}\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}z^m\int_{z}^{\infty}\frac{X(x)}{x^(m+1)}\,dx \qquad|z|>R_x

6. 卷积和定理

对于：

x1(n)u(n)↔ZX1(z)∣z∣>Rx1x_1(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X_1(z)\quad|z|>R_{x1}

x2(n)u(n)↔ZX2(z)∣z∣>Rx2x_2(n)u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X_2(z)\quad|z|>R_{x2}

有：

x1(n)u(n)∗x2u(n)↔ZX1(z)⋅X2(z)∣z∣>max(Rx1,Rx2)x_1(n)u(n)*x_2u(n)\overset{\mathscr{Z}}{\leftrightarrow}X_1(z)\cdot X_2(z) \qquad|z|>max(R_{x1},R_{x_2})

7. 初值定理

x(0)=lim⁡z→∞X(z)x(0)=\lim_{z\to\infty}X(z)

8. 终值定理

x(∞)=lim⁡n→∞(z−1)X(z)x(\infty)=\lim_{n\to\infty}(z-1)X(z)

四、z反变换

z反变换公式为：

x(n)=12πj∮CX(z)z(n−1)dzn=0,±1,±2,⋯x(n)=\frac{1}{2\pi j}\oint_CX(z)z_(n-1)dz \qquad n=0,\pm1,\pm2,\cdots

其中C为收敛域中的任意曲线，一般取圆即可

z变换的通常方法为留数法，但由于要凑成z/(z−a)z/(z-a)的形式，要先除以z，即对X(z)/zX(z)/z分解