傅里叶变换

一、基本非周期信号的傅里叶变换

1.单位冲激信号与冲击偶

$\mathscr{F}[\delta(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-j\omega t}\,dt=1$

由时域的微分特性，得冲激偶傅里叶变换：

$\mathscr{F}[\delta^\prime(t)]=j\omega$

推广到n阶：

$\mathscr{F}[\delta^{(n)}(t)]=(j\omega)^n$

2.单位门函数

对于一个高度为$A$,宽度为$\tau$的门函数$x(t)$

$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j\omega t}\,dt =\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}Ae^{-j\omega t}\,dt= \frac{-A}{j\omega}(e^{-j\omega\tau/2}-e^{j\omega\tau/2}) =A\tau Sa(\frac{\omega\tau}{2})$

3.直流信号

对于直流信号$f(t)=A$正常求解会得到无穷大，我们可以把直流信号看作是$\tau$无限大的单位门函数

$\mathscr{F}(\omega)=2\pi A\lim_{\tau\to\infty}\frac{\tau}{\pi}Sa(\frac{\omega\tau}{2}) =2\pi\delta(\omega)$

4.单边指数信号与双边指数信号

设单边指数信号表达式为：

$x(t)=Ae^{-at}u(t)\quad a>0$

其傅里叶变换为：

$X(\omega) = \frac{A}{a + j\omega}$

设双边指数信号表达式为：

$x(t)=Ae^{-a|t|}$

其傅里叶变换为

$X(\omega) = \frac{2Aa}{a^2+\omega^2}$

5.符号函数

符号函数的表达式为：

$sgn(t)=\begin{cases} 1\quad &t>0 \\ -1 \quad &t<0 \end{cases}$

显然符号信号不满足绝对可积条件，但可以将符号函数看作双边指数信号$a\to0$，最后得到符号函数的傅里叶变换为：

$\mathscr{F}(sgn(t))=\frac{2}{j\omega}$

6.单位阶跃信号

$u(t)$可改写为：

$u(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t)$

由傅里叶变换的线性可得：

$\mathscr{F}(u(t))=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}$

二、傅里叶变换的性质

对于后续的信号$x(t)$其傅里叶变换默认为$X(\omega)$

1.线性特性

傅里叶变换是由积分得来的，因此也符合线性，即：

$\mathscr{F}[ax_1(t)+bx_2(t)]=aX_1(\omega)+bX_2(\omega)$

2.时移特性

$\mathscr{F}[x(t-t_0)]=e^{-j\omega t_0}X(\omega)$

3.尺度变换性质

$\mathscr{F}[x(at)]=\frac{1}{|a|}X(\frac{\omega}{a})$

即一个信号在时域上变慢后，其频域缩小、频率集中在靠近0点附近，能量减小

结合时移特性，可以得到：

$\mathscr{F}[x(at-b)]=\frac{1}{|a|}X(\frac{\omega}{a})e^{-j\omega b/a}$

4.频移特性

$\mathscr{F}[x(t)e^{j\omega_0 t}]=X(\omega-\omega_0)\\ \mathscr{F}[x(t)e^{-j\omega_0 t}]=X(\omega+\omega_0)$

当一个信号乘以一个余弦信号时，信号在频域上会使得频谱发生搬移，即：

$\left. \begin{aligned} \mathscr{F}[x(t)\cos\omega_0t] &=\mathscr{F}[\frac{1}{2}x(t)(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t})]\\ &=\frac{1}{2}[X(\omega-\omega_0)+X(\omega+\omega_0)] \end{aligned} \right.$

$\quad$在调制信号时我们可以利用这一特性将信号从较低的频率搬移到不同的高频区域进行传输，同时我们可以把不同的信号搬移到不同的频率上，从而在同一时间传输不同的信号，实现频分复用
当乘以正弦信号时：

$\left. \begin{aligned} \mathscr{F}[x(t)\sin\omega_0t] &=\mathscr{F}[\frac{1}{2j}x(t)(e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t})]\\ &=\frac{1}{2j}[X(\omega-\omega_0)-X(\omega+\omega_0)] \end{aligned} \right.$

5.奇偶虚实性质

$\mathscr{F}[x(-t)]=X(-\omega)=X^*(\omega)$

6.互易对称特性

$\mathscr{F}[X(t)]=2\pi x(-\omega)$

在实际中，这个性质求傅里叶变换可以经过下面的步骤：

$f(t)\to2\pi f(-\omega)\to\mathscr{F}(t)\to\mathscr{F}(\omega)$

例：求抽样函数$f(t) = Sa(\pi t)$的傅里叶变换
经过第一步得到$2\pi f(-\omega)=2\pi Sa(-\pi t)=2\pi Sa(\pi t)$
我们知道门函数$G_\tau(t)$的傅里叶变换为$\tau Sa(\frac{\omega\tau}{2})$
则$2\pi f(-\omega)$中$\tau=2\pi$，其反傅里叶变换为$G_{2\pi}(t)$
最后得$f(t)$的傅里叶变换为$\mathscr{F}(\omega)=G_{2\pi}(\omega)$

7.利用傅里叶变换求函数面积

求抽样函数$x(t) = Sa(\pi t)$的面积

$S=\int_{-\infty}^{\infty}Sa(\pi t)e^{-j\omega t}|_{\omega=0}=G_{2\pi}(0)=1$

即我们可以通过傅里叶变换求得函数求面积
对于$x(t)$与$t$围成的面积为$S=X(0)$
对于$X(\omega)$与$\omega$围成的面积为$S=2\pi x(0)$

8.时域微分特性

对于$x(t)$的$n$阶微分$x^{(n)}$，其傅里叶变换为：

$\mathscr{F}[x^{(n)}]=(j\omega)^{(n)}X(\omega)$

变换得：

$X(\omega)=\frac{\mathscr{F}[x^{(n)}]}{(j\omega)^{(n)}}$

例：求高度为$A$，宽度为$\tau$的三角波信号的傅里叶变换
进行第一次微分，得到的图像为一正一反的门函数图像，用公式表示为：

$x^\prime(t)=\frac{2A}{\tau}[u(t+\frac{\tau}{2})-u(t)]-\frac{2A}{\tau}[u(t)-u(t-\frac{\tau}{2})]$

再次微分可得冲激信号

$x^{\prime\prime}(t)=\frac{2A}{\tau}[\delta(t+\frac{\tau}{2})-2\delta(t)+\delta(t+\frac{\tau}{2})]$

由时移特性可得

$\mathscr{F}[x^{\prime\prime}(t)]=\frac{2A}{\tau}[e^{j\omega\tau/2}+e^{-j\omega\tau/2}-2]$

结合微分特性可得：

$\left. \begin{aligned} X(\omega) &=\frac{\mathscr{F}[x^{\prime\prime}(t)]}{(j\omega)^2}\\ &=-\frac{1}{\omega}\frac{2A}{\tau}[e^{j\omega\tau/2}+e^{-j\omega\tau/2}-2]\\ &=\frac{A\tau}{2}Sa^2(\frac{\omega\tau}{4}) \end{aligned} \right.$

当信号存在直流分量时，即：

$\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\,dt\neq0$

要将信号的直流分量先拆出，再取剩余的部分进行傅里叶变换，如$u(t)$不能直接由微分后的冲激信号通过时域的微分特性求得。需要先分离出直流分量$\frac{1}{2}$再取剩余部分$\frac{1}{2}sgn(t)$进行傅里叶变换，最后得：

$\mathscr{F}(u(t))=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}$

9.频域微分特性

$\mathscr{F}[t^nx(t)]=j^nX^{(n)}(\omega)$

例：求$t^n$的傅里叶变换

$\mathscr{F}(t^n)=\mathscr{F}(t^n*1)=2\pi j^n\delta^\prime(\omega)$

10.时域积分特性

$\mathscr{F}\left[\int_{-\infty}^{t}x(t)\,dt\right]=\pi\mathscr{F}(0)\delta(\omega)+ \frac{\mathscr{F}(\omega)}{j\omega}$

其中$\mathscr{F}(0)$为直流分量
例：求$G_\tau(t)$积分的傅里叶变换
可得其直流分量为$\tau$，最后结果为：

$\mathscr{F}\left[\int_{-\infty}^{t}G_\tau(t)\,dt\right]=\pi\tau\delta(\omega)+\frac{\tau}{j\omega}Sa(\frac{\omega\tau}{2})$

11.频域积分特性

$\mathscr{F}[-\frac{1}{jt}x(t)+\pi x(0)\delta(t)]=\int_{-\infty}^{\omega}X(\omega)\,d\omega$

12.卷积定理

时域信号的卷积：

$\mathscr{F}[x_1(t)*x_2(t)]=X_1(\omega)X_2(\omega)$

这一性质经常用来求系统响应
时域信号的乘积：

$\mathscr{F}[x_1(t)x_2(t)]=\frac{1}{2\pi}X_1(\omega)*X_2(\omega)$

三、周期信号的傅里叶变换

我们知道周期信号展开成傅里叶级数为：

$f_T(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)e^{jn\omega_1t}$

我们对其求傅里叶变换为：

$\mathscr{F}[f_T(t)]=2\pi\sum_{-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)\delta(\omega-n\omega_1)$

为一系列冲激序列的叠加，对于其中的$F(n\omega_1)$我们只需求其一个周期的内的傅里叶变换即可：

$F(n\omega_1)=\frac{1}{T_1}\mathscr{F}_0(\omega)|_{\omega=n\omega_1}$

而对于周期信号而言，其傅里叶变换可为一个周期和一个冲激序列$\delta_T(t)$相卷积，而冲激序列的傅里叶变换为：

$\mathscr{F}[\delta_T(t)]=\omega_1\sum_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_1)$

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